Thông tin bài thi
- Số câu: 20
- Thời gian: 30 phút
- Điểm đạt: 70%
Thông tin thí sinh
Trắc nghiệm Toán 11: Hai mặt phẳng vuông góc giúp học sinh nắm vững góc giữa hai mặt phẳng, điều kiện vuông góc khi một mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt kia và tính chất giao tuyến vuông góc với mặt phẳng thứ ba. Bộ đề bám sát chương VIII Chân trời sáng tạo.
Với 25 câu hỏi về hình chóp, hình lập phương, lăng trụ đứng, góc nhị diện \([A, CD, B]\), công thức hình chiếu \(S’ = S \cdot \cos \varphi\) và góc giữa hai mặt tứ diện đều \(\cos \alpha = 1/3\), học sinh rèn kỹ năng xác định góc \(\angle SBA\), \(\angle SDA\) và chứng minh \((SAB) \perp (ABCD)\).
Nội dung kiến thức trọng tâm
Bộ đề tập trung vào những kiến thức cốt lõi của chủ đề, giúp người học ôn tập trước khi làm bài.
Những nội dung cần ghi nhớ
Ôn lại định nghĩa, công thức, dạng bài và các điểm dễ nhầm lẫn liên quan trực tiếp đến chuyên đề.
Cấu trúc bài thi
- Số lượng câu hỏi trong ngân hàng: 25 câu.
- Thời gian làm bài: 30 phút.
- Kết quả được chấm tự động sau khi hoàn thành quy trình nộp bài.
Hướng dẫn làm bài
Đọc kỹ câu hỏi, lựa chọn đáp án A, B, C hoặc D và phân bổ thời gian hợp lý. Bạn có thể theo dõi tiến độ ở khu vực câu hỏi trong suốt bài thi.
Tổng quan về chủ đề hai mặt phẳng vuông góc
Hai mặt phẳng vuông góc là quan hệ quan trọng trong không gian. Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến tại một điểm trên giao tuyến, với giá trị \(90^\circ\) khi hai mặt phẳng vuông góc. Điều kiện cần và đủ là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia, tức \((P) \perp (Q) \Leftrightarrow \exists d \subset (P), d \perp (Q)\).
Kiến thức trọng tâm
Các nội dung hoặc dạng bài quan trọng
- Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng và góc nhị diện \([A, CD, B]\) xác định qua đường vuông góc với giao tuyến.
- Điều kiện vuông góc: \((P) \perp (Q)\) khi \((P)\) chứa đường thẳng \(d \perp (Q)\).
- Tính chất: Nếu \((P) \perp (Q)\) theo giao tuyến \(d\) và \(a \subset (P), a \perp d\) thì \(a \perp (Q)\).
- Hệ quả: Hai mặt phẳng cùng vuông góc với \((R)\) theo hai giao tuyến cắt nhau thì giao tuyến của chúng vuông góc với \((R)\).
- Hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \perp (ABCD)\): các mặt \((SAB), (SAD), (SAC)\) đều vuông góc với đáy.
- Công thức diện tích hình chiếu: \(S’ = S \cdot \cos \varphi\), với \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng. Ví dụ \(S=10\) cm\(^2\), \(\varphi=60^\circ\) thì \(S’=5\) cm\(^2\).
- Lăng trụ đứng có cạnh bên vuông góc đáy, lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
- Góc giữa hai mặt tứ diện đều thỏa \(\cos \alpha = 1/3\).
Phương pháp làm bài
Các bước giải hoặc cách nhận biết
- Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc: Tìm trong mặt phẳng này một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia, ví dụ \(SA \perp (ABCD)\) và \(SA \subset (SAB)\) nên \((SAB) \perp (ABCD)\).
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: Tìm giao tuyến, kẻ hai đường cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm, góc giữa chúng là góc cần tìm như \(\angle SBA\) là góc giữa \((SBC)\) và \((ABC)\) khi \(ABC\) vuông tại \(B\).
- Tính góc với dữ kiện \(SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) và tam giác đều cạnh \(a\): Tính trung tuyến \(AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}\) nên \(\tan \varphi = SA/AM =1\) suy ra \(\varphi=45^\circ\).
- Áp dụng công thức \(S’ = S \cos \varphi\) để tính diện tích hình chiếu, không nhầm với \(\sin\).
- Đếm cặp mặt vuông góc trong hình hộp chữ nhật: Có 12 cặp, mỗi mặt vuông góc với 4 mặt bên.
Những lỗi thường gặp
Học sinh thường nhầm góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường bất kì trong hai mặt phẳng, hoặc nhầm góc nhị diện với góc phẳng thông thường. Lỗi khác là cho rằng \((ABCD) \perp (A’B’C’D’)\) trong hình lập phương, trong khi chúng song song. Với lăng trụ đứng, nhiều bạn cho rằng \((BCC’B’)\) không vuông góc đáy, trong khi tất cả mặt bên đều vuông góc đáy.
Kinh nghiệm ôn tập
Vẽ hình chóp có đáy hình vuông, hình chữ nhật, đánh dấu \(SA\) vuông góc đáy để thấy ngay các cặp \((SAB) \perp (ABCD)\), \((SAC) \perp (ABCD)\). Luyện xác định giao tuyến và kẻ đường vuông góc giao tuyến để tìm góc \(\angle SDA\) giữa \((SCD)\) và đáy. Ghi nhớ công thức \(S’ = S \cos \varphi\) và giá trị \(\cos \alpha = 1/3\) của tứ diện đều. Mỗi ngày làm 10 câu và tự giải thích tại sao chọn \(90^\circ\) hay \(45^\circ\).
FAQ – Câu hỏi thường gặp
Góc giữa hai mặt phẳng được định nghĩa như thế nào?
Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng tại một điểm trên giao tuyến, giá trị thuộc \([0^\circ; 90^\circ]\). Hai mặt phẳng vuông góc khi góc này bằng \(90^\circ\).
Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc là gì?
Mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. Ví dụ nếu \(SA \perp (ABCD)\) và \(SA \subset (SAB)\) thì \((SAB) \perp (ABCD)\).
Công thức diện tích hình chiếu là gì?
Nếu đa giác diện tích \(S\) và mặt phẳng chiếu tạo góc \(\varphi\) với mặt phẳng chứa đa giác thì \(S’ = S \cdot \cos \varphi\). Ví dụ \(S=10\), \(\varphi=60^\circ\) thì \(S’=5\) cm\(^2\).
Góc giữa \((SBC)\) và \((ABC)\) khi \(ABC\) vuông tại \(B\) và \(SA \perp (ABC)\) là góc nào?
Là \(\angle SBA\), vì \(AB \perp BC\) và \(SB\) là hình chiếu xiên, giao tuyến là \(BC\).
Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu cặp mặt vuông góc?
Có 12 cặp mặt phẳng vuông góc với nhau, mỗi mặt vuông góc với 4 mặt xung quanh.
Có bao nhiêu mặt phẳng qua \(M\) vuông góc với cả \((P)\) và \((Q)\) cắt nhau?
Có duy nhất một mặt phẳng như vậy, đó là mặt phẳng chứa đường vuông góc chung của hai giao tuyến.