Thông tin bài thi
- Số câu: 20
- Thời gian: 30 phút
- Điểm đạt: 70%
Thông tin thí sinh
Trắc nghiệm Toán 11: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng giúp học sinh nắm vững định nghĩa \(d \perp (P)\) khi \(d\) vuông góc với mọi đường thẳng trong \((P)\) và điều kiện \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \((P)\). Bộ đề bám sát chương trình Chân trời sáng tạo với các dạng hình chóp, hình lập phương và định lí ba đường vuông góc.
Bộ 25 câu hỏi rèn kỹ năng nhận biết quan hệ vuông góc như \(SA \perp (ABCD)\), \(BC \perp (SAB)\), \(BC \perp (SAM)\), xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng qua hình chiếu, và vận dụng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, phù hợp để ôn tập kiểm tra chương VIII.
Nội dung kiến thức trọng tâm
Bộ đề tập trung vào những kiến thức cốt lõi của chủ đề, giúp người học ôn tập trước khi làm bài.
Những nội dung cần ghi nhớ
Ôn lại định nghĩa, công thức, dạng bài và các điểm dễ nhầm lẫn liên quan trực tiếp đến chuyên đề.
Cấu trúc bài thi
- Số lượng câu hỏi trong ngân hàng: 25 câu.
- Thời gian làm bài: 30 phút.
- Kết quả được chấm tự động sau khi hoàn thành quy trình nộp bài.
Hướng dẫn làm bài
Đọc kỹ câu hỏi, lựa chọn đáp án A, B, C hoặc D và phân bổ thời gian hợp lý. Bạn có thể theo dõi tiến độ ở khu vực câu hỏi trong suốt bài thi.
Tổng quan về chủ đề đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) khi \(d\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong \((P)\). Đây là quan hệ trung tâm của chương Quan hệ vuông góc trong không gian. Điều kiện đủ để chứng minh là \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong \((P)\). Từ đó suy ra \(d\) vuông góc với mọi đường thẳng trong \((P)\) và mọi mặt phẳng vuông góc với \(d\) sẽ song song với nhau.
Kiến thức trọng tâm
Nắm vững định nghĩa, điều kiện và các hệ quả sẽ giúp giải nhanh các bài hình chóp và hình lập phương.
Các nội dung hoặc dạng bài quan trọng
- Định nghĩa: \(d \perp (P) \Leftrightarrow d \perp a, \forall a \subset (P)\).
- Điều kiện: \(d \perp (P)\) nếu \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong \((P)\).
- Tính chất duy nhất: Có duy nhất một mặt phẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước và ngược lại.
- Hệ quả: Nếu \(a \parallel b\) và \(a \perp (P)\) thì \(b \perp (P)\); nếu \((P) \parallel (Q)\) và \(d \perp (P)\) thì \(d \perp (Q)\).
- Định lí ba đường vuông góc: \(b \subset (P)\), \(a\) không vuông góc \((P)\), gọi \(a’\) là hình chiếu của \(a\) lên \((P)\). Khi đó \(b \perp a \Leftrightarrow b \perp a’\).
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa \(d\) và hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \((P)\). Ví dụ \(SA \perp (ABCD)\) thì góc giữa \(SB\) và \((ABC)\) là \(\angle SBA\).
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Nếu \(SA \perp (ABCD)\) thì khoảng cách từ \(S\) đến \((ABCD)\) là \(SA\); trung điểm \(I\) của \(SC\) cách đáy \(a/2\).
Phương pháp làm bài
Các bước giải hoặc cách nhận biết
- Chứng minh \(d \perp (P)\): Tìm hai đường thẳng cắt nhau \(a, b \subset (P)\) sao cho \(d \perp a\) và \(d \perp b\), thường dùng tính chất hình vuông, hình chữ nhật, tam giác vuông.
- Với hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \perp (ABCD)\) và đáy hình vuông: \(BC \perp AB\) và \(BC \perp SA\) nên \(BC \perp (SAB)\). Tương tự \(CD \perp (SAD)\).
- Với đáy vuông tại \(B\) và \(SA \perp (ABC)\): \(BC \perp AB\) và \(BC \perp SA\) nên \(BC \perp (SAB)\).
- Để chứng minh \(SC \perp (AHK)\) với \(H, K\) là hình chiếu của \(A\) lên \(SB, SD\), chứng minh \(AH \perp (SBC)\) và \(AK \perp (SCD)\).
- Tính góc: Xác định hình chiếu \(A\) của \(S\) lên đáy, tính \(\tan \alpha = \frac{SA}{AC}\) hoặc \(\frac{SA}{AD}\). Nếu \(SA = a\sqrt{3}\) và \(AD = a\) thì \(\alpha = 60^\circ\).
- Với \(OABC\) có \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc, chân đường cao từ \(O\) xuống \((ABC)\) là trực tâm tam giác \(ABC\).
Những lỗi thường gặp
Lỗi phổ biến là cho rằng một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng trong \((P)\) là đủ để vuông góc với \((P)\), hoặc chỉ cần vuông góc với hai đường thẳng song song. Sai lầm khác là nhầm góc giữa \(SB\) và \((ABC)\) là \(\angle ASB\) thay vì \(\angle SBA\). Nhiều học sinh quên rằng nếu \(a \perp (P)\) thì \(a\) vuông góc với mọi đường thẳng trong \((P)\), chứ không song song.
Kinh nghiệm ôn tập
Vẽ hình chóp \(S.ABCD\) với \(SA\) thẳng đứng và đáy hình vuông, ghi nhớ các bộ vuông góc: SA \perp AB, SA \perp AD, BC \perp (SAB), CD \perp (SAD), BD \perp (SAC). Luyện định lí ba đường vuông góc bằng cách kẻ hình chiếu \(AH\) lên \(BC\) rồi chứng minh \(BC \perp (SAH)\). Ôn lại công thức \(\tan\) để tính góc giữa cạnh bên và đáy, và nhớ khoảng cách trung điểm giảm một nửa.
FAQ – Câu hỏi thường gặp
Điều kiện để \(d \perp (P)\) là gì?
Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \((P)\) khi \(d\) vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong \((P)\). Khi đó \(d\) sẽ vuông góc với mọi đường thẳng trong \((P)\).
Định lí ba đường vuông góc phát biểu như thế nào?
Cho \(a\) không vuông góc với \((P)\) và \(b \subset (P)\). Gọi \(a’\) là hình chiếu của \(a\) lên \((P)\). Khi đó \(b \perp a \Leftrightarrow b \perp a’\). Định lí này dùng để chứng minh \(BC \perp (SAH)\) khi \(AH\) là hình chiếu.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được xác định ra sao?
Là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng. Ví dụ \(SA \perp (ABC)\) thì góc giữa \(SB\) và \((ABC)\) là \(\angle SBA\).
Vì sao trong hình chóp đáy hình vuông có \(BC \perp (SAB)\) khi \(SA \perp (ABCD)\)?
Vì \(BC \perp AB\) do đáy là hình vuông và \(BC \perp SA\) do \(SA \perp (ABCD)\), nên \(BC\) vuông góc với hai đường cắt nhau \(AB, SA\) trong \((SAB)\).
Chân đường cao từ \(O\) trong tứ diện vuông \(OABC\) là điểm gì của tam giác \(ABC\)?
Là trực tâm tam giác \(ABC\). Tính chất này suy ra từ \(OA, OB, OC\) đôi một vuông góc và được dùng nhiều trong bài toán khoảng cách.
Khoảng cách từ trung điểm \(I\) của \(SC\) đến đáy tính thế nào?
Nếu \(SA = a\) và \(SA \perp (ABCD)\) thì khoảng cách từ \(S\) đến đáy là \(SA = a\). Trung điểm \(I\) của \(SC\) cách đáy một nửa là \(a/2\) do đường trung bình.