Thông tin bài thi
- Số câu: 20
- Thời gian: 30 phút
- Điểm đạt: 70%
Thông tin thí sinh
Trắc nghiệm Toán 11: Hai đường thẳng vuông góc giúp học sinh củng cố khái niệm góc giữa hai đường thẳng trong không gian, điều kiện vuông góc và cách xác định quan hệ vuông góc qua vectơ chỉ phương. Bộ đề bám sát chương trình Chân trời sáng tạo, phù hợp để luyện tập trước kiểm tra.
Với 25 câu hỏi chọn lọc về hình lập phương, tứ diện đều, hình chóp và quan hệ song song, vuông góc, học sinh sẽ rèn kỹ năng quan sát hình biểu diễn, vận dụng định lý \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) để nhận biết \(a \perp b\) và tính góc giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian.
Nội dung kiến thức trọng tâm
Bộ đề tập trung vào những kiến thức cốt lõi của chủ đề, giúp người học ôn tập trước khi làm bài.
Những nội dung cần ghi nhớ
Ôn lại định nghĩa, công thức, dạng bài và các điểm dễ nhầm lẫn liên quan trực tiếp đến chuyên đề.
Cấu trúc bài thi
- Số lượng câu hỏi trong ngân hàng: 25 câu.
- Thời gian làm bài: 30 phút.
- Kết quả được chấm tự động sau khi hoàn thành quy trình nộp bài.
Hướng dẫn làm bài
Đọc kỹ câu hỏi, lựa chọn đáp án A, B, C hoặc D và phân bổ thời gian hợp lý. Bạn có thể theo dõi tiến độ ở khu vực câu hỏi trong suốt bài thi.
Tổng quan về chủ đề hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng vuông góc là kiến thức nền tảng trong chương Quan hệ vuông góc trong không gian của Toán 11. Trong không gian, góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) được định nghĩa thông qua góc giữa hai vectơ chỉ phương \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) của chúng, với giá trị luôn thuộc đoạn \([0^\circ; 90^\circ]\). Khi góc này bằng \(90^\circ\), ta nói \(a \perp b\). Khái niệm này mở rộng cho cả hai đường thẳng cắt nhau và chéo nhau.
Kiến thức trọng tâm
Để làm tốt dạng bài này, học sinh cần nắm vững định nghĩa, điều kiện và các tính chất liên quan.
Các nội dung hoặc dạng bài quan trọng
- Định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian và miền giá trị \([0^\circ; 90^\circ]\).
- Điều kiện vuông góc: \(a \perp b \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\), trong đó \(\vec{u}, \vec{v}\) là vectơ chỉ phương.
- Tính chất: Nếu \(a \parallel b\) và \(c \perp a\) thì \(c \perp b\).
- Góc giữa hai đường thẳng trong hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\), tứ diện đều \(ABCD\), tứ diện có \(AB, AC, AD\) đôi một vuông góc.
- Quan hệ vuông góc trong hình chóp có đáy là hình vuông, hình thoi và hình chóp có \(SA \perp (ABC)\).
- Bài toán tìm số đường thẳng qua \(O\) vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau \(a, b\): luôn có duy nhất một đường thẳng như vậy.
Phương pháp làm bài
Học sinh nên tiếp cận theo hướng vectơ và hình học trực quan kết hợp.
Các bước giải hoặc cách nhận biết
- Xác định vectơ chỉ phương \(\vec{u}\) của \(a\) và \(\vec{v}\) của \(b\). Tính tích vô hướng \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). Nếu bằng 0 thì \(a \perp b\).
- Với hình lập phương và hình hộp có các cạnh bằng nhau, sử dụng tính song song để đưa hai đường thẳng về cùng một mặt phẳng rồi tính góc.
- Với tứ diện đều, nhớ tính chất \(AB \perp CD\), \(AC \perp BD\), \(AD \perp BC\) với góc \(90^\circ\).
- Trong hình chóp có yếu tố cân như \(AB=AC\) và \(\angle SAB = \angle SAC\) hoặc \(SA=SB=SC\), kẻ trung tuyến \(AM\) hoặc \(SM\) để chứng minh \(BC \perp SA\) và \(BC \perp SM\).
- Đối với câu hỏi lý thuyết như nếu \(a \perp b\) và \(b \perp c\) thì \(a\) và \(c\) có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau, cần nhớ quan hệ vuông góc không có tính bắc cầu.
Những lỗi thường gặp
Nhiều học sinh nhầm lẫn miền giá trị của góc giữa hai đường thẳng là \([0^\circ; 180^\circ]\) thay vì \([0^\circ; 90^\circ]\). Lỗi khác là cho rằng nếu \(a \perp b\) và \(b \perp c\) thì \(a \parallel c\), trong khi thực tế có thể xảy ra cả ba trường hợp. Trong hình lập phương, việc nhầm \(AC\) và \(A’C’\) tạo góc \(90^\circ\) thay vì \(0^\circ\) do chúng song song cũng thường gặp. Ngoài ra, học sinh hay bỏ qua điều kiện \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) và nhầm với song song.
Kinh nghiệm ôn tập
Hãy vẽ lại hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) và đánh dấu các cặp đường thẳng vuông góc điển hình như \(AB \perp BC\), \(AA’ \perp BC\), \(AC \perp B’D’\). Luyện tập chứng minh \(AB \perp CD\) trong tứ diện có \(AB, AC, AD\) đôi một vuông góc bằng cách dùng tích vô hướng. Làm lại các bài toán về trung điểm trong tứ diện \(MNPQ\) để thấy khi nào là hình chữ nhật, hình thoi hay hình vuông. Mỗi ngày làm 10 câu trắc nghiệm và tự giải thích vì sao chọn đáp án \(90^\circ\) hay \(45^\circ\) để nhớ lâu hơn.
FAQ – Câu hỏi thường gặp
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian được tính như thế nào?
Góc giữa hai đường thẳng \(a\) và \(b\) là góc giữa hai vectơ chỉ phương \(\vec{u}\) và \(\vec{v}\) của chúng sau khi đưa về chung gốc, lấy giá trị nhọn, thuộc \([0^\circ; 90^\circ]\). Nếu \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\) thì góc bằng \(90^\circ\).
Khi nào hai đường thẳng được gọi là vuông góc?
Hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng \(90^\circ\), áp dụng cho cả hai trường hợp cắt nhau và chéo nhau. Điều kiện vectơ là \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 0\).
Nếu \(a \parallel b\) và \(c \perp a\) thì quan hệ giữa \(c\) và \(b\) là gì?
Khi đó \(c \perp b\). Đây là tính chất quan trọng để suy luận nhanh trong hình lập phương và hình hộp.
Trong tứ diện đều \(ABCD\), góc giữa \(AB\) và \(CD\) bằng bao nhiêu?
Bằng \(90^\circ\). Tứ diện đều có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau, đây là kết quả thường dùng trong trắc nghiệm.
Có bao nhiêu đường thẳng qua \(O\) vuông góc với cả hai đường thẳng chéo nhau \(a, b\)?
Có duy nhất một đường thẳng. Đó là đường vuông góc chung đi qua \(O\) được dựng bằng cách kẻ các đường song song với \(a, b\) qua \(O\).
Làm sao tránh nhầm lẫn giữa \(0^\circ\) và \(90^\circ\) trong hình lập phương?
Hãy nhớ \(AC \parallel A’C’\) nên góc \(0^\circ\), còn \(AC \perp B’D’\) trong đáy hình vuông nên góc \(90^\circ\). Vẽ hình và kiểm tra song song trước khi tính góc.